Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，D是AB中点，AC⊥BC．
（1）求证：BC₁∥面A₁DC．
（2）求证：面A₁BC⊥面A₁AC．

Answer

（1）取AC1 的中点M，则MD是三角形ABC1的中位线，可得 MD∥BC1，从而得到 BC1∥面A1DC．
（2）由AA1⊥面ABC，可得 AA1⊥BC，又 AC⊥BC，BC⊥面A1AC，从而得到面A1BC⊥面A1AC．
【解析】
（1）证明：取AC1 的中点M，∵D是AB中点，∴MD是三角形ABC1的中位线，∴MD∥BC1．
而MD在平面A1DC中，BC1 不在平面A1DC中，∴BC1∥面A1DC．
（2）∵AA1⊥面ABC，∴AA1⊥BC，又 AC⊥BC，AC∩AA1=A，∴BC⊥面A1AC．
∵BC⊂面A1BC，∴面A1BC⊥面A1AC．