Question

椭圆=1以F₁（-2，0）和F₂（2，0）为焦点，离心率e=．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过作斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，∠AOB=90°，求弦AB的长；并求△AOB的面积．（其中O为坐标原点）

Answer

（Ⅰ）由设条件知，由此能导出椭圆的方程．
（Ⅱ）设直线方程为y=x+b，联立方程组，整理，得3x2+4bx+2b2-8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，由∠AOB=90°，知x1x2+y1y2=0，从而解得b=．直线方程为y=x，再由弦长公式和点到直线的距离公式能够求出弦长AB和△AOB的面积．
【解析】
（Ⅰ）由题设条件知，
∴a2=8，b2=4，
∴椭圆的方程为．
（Ⅱ）设直线方程为y=x+b，联立方程组，
整理，得3x2+4bx+2b2-8=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
∵∠AOB=90°，∴OA2+OB2=AB2，
∴x1x2+y1y2=0，
∵y1y2=（x1+b）（x2+b）=x1x2+b（x1+x2）+b2，
∴2x1x2+b（x1+x2）+b2=0，
∴，解得b=．
∴直线方程为y=x．
，
∴
=．
∵O到直线y=x的距离为，
∴△AOB的面积==．