Question

设正数数列{a_n}的前n项之和为S_n满足S_n=
①先求出a₁，a₂，a₃，a₄的值，然后猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
②设，数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer

①求出数列的前若干项，归纳出一般结论，用数学归纳法证明．
③把通项  裂项变为 （- ），其前n项的和 Tn=
[（1-）+（）+（ ）+…+（-）]=（1- ） 化简可得结果．
【解析】
①在 Sn=中，令n=1可得，a1=，∴a1=1． 令n=2 可得，1+a2=，
 a2 =3，同理可求，a3=5，a4=7．
猜测an=2n-1．
证明：当n=1时，猜测显然成立，假设   ak=2k-1，
则由  ak+1=sk+1-sk=-=-k2，解得 ak+1=2k+1，
故n=k+1时，猜测仍然成立，
③∵==（- ），
∴Tn=[（1-）+（）+（ ）+…+（-）]=（1- ）
=．