Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和为S_n，且满足2S_n=a_n²+a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ）由题设条件，分别令n=1，2，3，能够求出a1，a2，a3．
（Ⅱ）由2Sn=an2+an，知2Sn-1=an-12+an-1，（n≥2），所以（an-an-1-1）（an+an-1）=0，由此能求出数列{an}的通项公式．
（Ⅲ）由，知，．由此能够求出数列{bn}的前n项和Tn．
【解析】
（Ⅰ）a1=1，a2=2，a3=3．（3分）
（Ⅱ）2Sn=an2+an，①2Sn-1=an-12+an-1，（n≥2）②（5分）
①-②即得（an-an-1-1）（an+an-1）=0，（6分）
因为an+an-1≠0，所以an-an-1=1，所以an=n（n∈N*）（8分）
（Ⅲ）（Ⅲ）∵，
∴，
．
两式相减得，
=1-．
所以．（13分）