Question

已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，短轴长为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是椭圆的左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．

Answer

（Ⅰ）直接利用解出即可得椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）先把直线方程与椭圆方程联立，求出关于点M、N坐标之间的等式，再代入AM⊥AN对应的等式即可求出m和k之间的关系，进而证得直线l过定点，并求出定点的坐标．
【解析】
（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a，短半轴长为b，半焦距为c，则解得
∴椭圆C的标准方程为．（4分）
（Ⅱ）由方程组消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．（6分）
由题意△=（8km）2-4（3+4k2）（4m2-12）＞0，
整理得：3+4k2-m2＞0①（7分）
设M（x1，y1）、N（x2，y2），则，．（8分）
由已知，AM⊥AN，且椭圆的右顶点为A（2，0），
∴（x1-2）（x2-2）+y1y2=0． （10分）
即（1+k2）x1x2+（km-2）（x1+x2）+m2+4=0，
也即，
整理得7m2+16mk+4k2=0．
解得m=-2k或，均满足①（11分）
当m=-2k时，直线l的方程为y=kx-2k，过定点（2，0），不符合题意舍去；
当时，直线l的方程为，过定点，
故直线l过定点，且定点的坐标为．（13分）