Question

已知函数f（x）=x^k+b（常数k，b∈R）的图象过点（4，2）、（16，4）两点．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）的图象与函数f（x）的图象关于直线y=x对称，若不等式g（x）+g（x-2）＞2ax+2恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若P₁，P₂，P₃，…，P_n，…是函数f（x）图象上的点列，Q₁，Q₂，Q₃，…，Q_n，…是x正半轴上的点列，O为坐标原点，△OQ₁P₁，△Q₁Q₂P₂，…，△Q_n-1Q_nP_n，…是一系列正三角形，记它们的边长是a₁，a₂，a₃，…，a_n，…，探求数列a_n的通项公式，并说明理由．

Answer

（1）将（4，2）、（16，4）两点坐标代入函数f（x）=xk+b中，即可求出k、b的值，进而求得函数f（x）的解析式；
（2）根据前面求得的f（x）的解析式和题中已知条件可知函数g（x）的解析式，令g（x）+g（x-2）＜2ax+2，便可求出a的取值范围；
（3）根据前面求得的函数结合题中已知条件便可求出an与an+1的关系，便可求得数列an的通项公式．
【解析】
（1）

（2）g（x）=x2（x≥0）
g（x）+g（x-2）＞2ax+2

原问题等价于在x∈[2，+∞）恒成立，
利用函数在区间[2，+∞）上为增函数，
可得；
（3）由，
由，
将x代入，
∴且，
又，
两式相减可得：⇒，
又，因为an＞0，所以，
从而an是以为首项，为公差的等差数列，即．