Question

如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°
（I）证明：M为侧棱SC的中点
（II）求二面角S-AM-B的大小．

Answer

（1）法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，NE=AD=2设MN=x，则NC=EB=x，解RT△MNE即可得x的值，进而得到M为侧棱SC的中点；
法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D-xyz，并求出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断；
法三：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D-xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．
（2）我们可以以D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D-xyz，我们可以利用向量法求二面角S-AM-B的大小．
（Ⅰ）证法一：作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，
连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，NE=AD=
设MN=x，则NC=EB=x，
在RT△MEB中，∵∠MBE=60°∴ME=x．
在RT△MNE中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2
解得x=1，从而 MN=SD
∴M为侧棱SC的中点M．
（Ⅰ）证法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D-xyz，则 ．
设M（0，a，b）（a＞0，b＞0），
则 ，
由题得
即
解之个方程组得a=1，b=1即M（0，1，1）
所以M是侧棱SC的中点．
（I）证法三：设
则
又
故 ，
即 ，
解得λ=1，所以M是侧棱SC的中点．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，
又，，
设 分别是平面SAM、面MAB的法向量，
则 且，
即且
分别令 得z1=1，y1=1，y2=0，z2=2，
即，
∴
二面角S-AM-B的大小 ．