满分5 > 高中数学试题 >

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD...

manfen5.com 满分网如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=4,AB=2,以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M,
(1)求证:平面ABM⊥平面PCD;
(2)求直线PC与平面ABM所成的角;
(3)求点O到平面ABM的距离.
法一:(1)要证平面ABM⊥平面PCD,只需证明平面PCD内的直线PD,垂直平面PAD内的两条相交直线BM、AB即可; ( 2)平面ABM与PC交于点N,说明∠PNM就是PC与平面ABM所成的角,然后解三角形,求直线PC与平面ABM所成的角; (3)O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半,说明|DM|就是D点到平面ABM距离,求解即可. 法二:建立空间直角坐标系, ( 2)求出平面ABM的一个法向量,求出,然后求出即可. (3)利用向量的射影公式直接求即可 【解析】 方法(一): (1)证:依题设,M在以BD为直径的球面上,则BM⊥PD 因为PA⊥平面ABCD,则PA⊥AB,又AB⊥AD, 所以AB⊥平面PAD,则AB⊥PD, 因此有PD⊥平面ABM,所以平面ABM⊥平面PCD (2)设平面ABM与PC交于点N, 因为AB∥CD,所以AB∥平面PCD,则AB∥MN∥CD, 由(1)知,PD⊥平面ABM, 则MN是PN在平面ABM上的射影, 所以∠PNM就是PC与平面ABM所成的角, 且∠PNM=∠PCD 所求角为 (3)因为O是BD的中点, 则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半, 由(1)知,PD⊥平面ABM于M,则|DM|就是D点到平面ABM距离 因为在Rt△PAD中,PA=AD=4,PD⊥AM, 所以M为PD中点,, 则O点到平面ABM的距离等于. 方法二: (1)同方法一; (2)如图所示,建立空间直角坐标系, 则A(0,0,0),P(0,0,4),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),M(0,2,2), 设平面ABM的一个法向量, 由可得:, 令z=-1,则y=1,即 设所求角为α,则, 所求角的大小为、 (3)设所求距离为h,由, 得:
复制答案
考点分析:
相关试题推荐
如图,四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为矩形,SD⊥底面ABCD,AD=manfen5.com 满分网,DC=SD=manfen5.com 满分网,点M在侧棱SC上,∠ABM=60°
(I)证明:M为侧棱SC的中点
(II)求二面角S-AM-B的大小.

manfen5.com 满分网 查看答案
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是A1B,A1C的中点,点D在B1C1上,A1D⊥B1C.求证:
(1)EF∥平面ABC;
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.

manfen5.com 满分网 查看答案
manfen5.com 满分网如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上.
(1)求证:平面AEC⊥平面PDB;
(2)当manfen5.com 满分网且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小.
查看答案
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是棱AB、CC1的中点,△MB1P的顶点P在棱CC1与棱C1D1上运动,有以下四个命题:
①平面MB1P⊥ND1;②平面MB1P⊥平面ND1A1;③△MB1P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值;④△MB1P在侧面D1C1CD上的射影图形是三角形.
其中正确命题的序号是   
manfen5.com 满分网 查看答案
如图,若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2,高为4,则异面直线BD1与AD所成角的大小是    (结果用反三角函数值表示).
manfen5.com 满分网 查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

Copyright @ 2008-2019 满分5 学习网 ManFen5.COM. All Rights Reserved.