Question

设椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，过点A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且，若过A，Q，F₂三点的圆恰好与直线l：相切．过定点M（0，2）的直线l₁与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l₁的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若实数λ满足，求λ的取值范围．

Answer

（I）因为，知a，c的一个方程，再利用△AQF的外接圆得出另一个方程，解这两个方程组成的方程组即可求得所求椭圆方程；
（II）由（I）知设l1的方程为y=kx+2，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的坐标表示即可求得满足题意的点P且m的取值范围．
（Ⅲ）先分两种情况讨论：①当直线l1斜率存在时，设直线l1方程为y=kx+2，代入椭圆方程消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的坐标表示即可求得满足题意的λ的取值范围；②又当直线l1斜率不存在时，直线l1的方程为x=0，同样利用向量的坐标运算求λ的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）因为，
所以F1为F2Q中点．
设Q的坐标为（-3c，0），
因为AQ⊥AF2，所以b2=3c×c=3c2，a2=4c×c=4c2，
且过A，Q，F2三点的圆的圆心为F1（-c，0），半径为2c．（2分）
因为该圆与直线l相切，所以．
解得c=1，所以a=2，．
故所求椭圆方程为．（4分）
（Ⅱ）设l1的方程为y=kx+2（k＞0），
由得（3+4k2）x2+16kx+4=0．
设G（x1，y1），H（x2，y2），则．（5分）
所以=（x1+x2-2m，y1+y2）．
=（x1+x2-2m，k（x1+x2）+4）．
由于菱形对角线互相垂直，则．（6分）
所以（x2-x1）[（x1+x2）-2m]+k（x2-x1）[k（x1+x2）+4]=0．
故（x2-x1）[（x1+x2）-2m+k2（x1+x2）+4k]=0．
因为k＞0，所以x2-x1≠0．
所以（x1+x2）-2m+k2（x1+x2）+4k=0
即（1+k2）（x1+x2）+4k-2m=0．
所以
解得．即．
因为k＞0，所以．
故存在满足题意的点P且m的取值范围是．（8分）
（Ⅲ）①当直线l1斜率存在时，
设直线l1方程为y=kx+2，代入椭圆方程
得（3+4k2）x2+16kx+4=0．
由△＞0，得．（9分）
设G（x1，y1），H（x2，y2），
则，．
又，所以（x1，y1-2）=λ（x2，y2-2）．所以x1=λx2．（10分）
所以x1+x2=（1+λ）x2，x1x2=λx22．
所以．将上式代入整理得：
．（11分）
因为，所以．即．
所以．
解得．
又0＜λ＜1，所以．（13分）
②又当直线l1斜率不存在时，直线l1的方程为x=0，
此时，，，，，所以．所以，即所求λ的取值范围是．（14分）