Question

定义：离心率的椭圆为“黄金椭圆”，已知椭圆E：的一个焦点为F（c，0），p为椭圆E上任意一点．
（1）试证：若a、b、c不是等比数列，则E一定不是“黄金椭圆”；
（2）若E为黄金椭圆；问：是否存在过点F，P的直线l；使l与y轴的交点R满足；若存在，求直线l的斜率K；若不存在，说明理由．

Answer

（1）假设E为黄金椭圆，则，根据等比中项的性质可推断a、b、c成等比数列，与已知矛盾，故原命题成立．
（2）设直线l的方程为y=k（x-c），进而可表示出R的坐标根据及，进而表示出P的坐标，把P点代入椭圆的方程整理后可解得k存在，求出k．
【解析】
（1）证明：假设E为黄金椭圆，则，即
∴
即a，b，c成等比数列，与已知矛盾
故原命题成立．
（2）依题意设直线l的方程为y=k（x-c）
令x=0，有y=-kc，即R（0，-kc）
点F（c，0），设P（x，y）
则
∵
∴x=2（c-x）
即p（2c，kc）
y+kc=2y
∵P在椭圆上∴
又b2=ac∴4e2+k2e=1
故，与k2≥0矛盾
所以，满足题意的直线不存在．