Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-1（n∈N⁺）．
（Ⅰ）求证数列{a_n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{na_n}的前n项和为T_n，求T_n的表达式；
（Ⅲ）对任意n∈N⁺，试比较  与 S_n的大小．

Answer

（Ⅰ）由Sn=2an-1和Sn+1=2an+1-1相减得an+1=2an+1-2an，所以 ，由此可求出数列{an}的通项公式，
（Ⅱ）首先求出数列{nan}的前n项和为Tn=1•2+2•21+3•22+…+（n-1）•2n-2+n•2n-1，再写出2Tn=1•2+2•22+…+（n-2）•2n-2+（n-1）•2n-1+n•2n，两式相减即可求出Tn的表达式，
（Ⅲ）首先求出Sn，然后讨论当n=1、n=2和n≥3时，比较 -Sn的值的正负．
【解析】
（Ⅰ）由Sn=2an-1得Sn+1=2an+1-1，二式相减得：an+1=2an+1-2an，
∴，∴数列{an}是公比为2的等比数列，（3分）
又∵S1=2a1-1，∴a1=1，∴an=2n-1．（5分）
（Ⅱ）∵nan=n2n-1，
∴Tn=1•2+2•21+3•22+…+（n-1）•2n-2+n•2n-1①
2Tn=1•2+2•22+…+（n-2）•2n-2+（n-1）•2n-1+n•2n，②（7分）
①-②得-Tn=1+2+4+…+2n-2+2n-1-n•2n=，
∴Tn=n2n-2n+1=（n-1）2n+1．（9分）
（Ⅲ）∵，
∴，（11分）
∴当n=1时，-S1=-＜0，当n=2时，-S2=-＜0，；
当n≥3时，-Sn＞0．（13分）
综上，当n=1或n=2时，；当n≥3时，．（14分）