Question

已知函数f（x）=x，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数．
（1）求λ的最大值；
（2）若g（x）＜t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围．

Answer

（1）由题意由于f（x）=x，所以函数g（x）=λf（x）+sinx=λx+sinx，又因为该函数在区间[-1，1]上的减函数，所以可以得到λ的范围；
（2）由于g（x）＜t2+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立⇔[g（x）]max=g（-1）=-λ-sinl，解出即可；
【解析】
（1）∵f（x）=x，
∴g（x）=λx+sinx，
∵g（x）在[-1，1]上单调递减，
∴g'（x）=λ+cosx≤0
∴λ≤-cosx在[-1，1]上恒成立，λ≤-1，故λ的最大值为-1．
（2）由题意[g（x）]max=g（-1）=-λ-sinl
∴只需-λ-sinl＜t2+λt+1
∴（t+1）λ+t2+sin+1＞0（其中λ≤-1），恒成立，
令h（λ）=（t+1）λ+t2+sin1+1＞0（λ≤-1），
则 ，
∴，而t2-t+sin1＞0恒成立，
∴t＜-1
又t=-1时-λ-sinl＜t2+λt+1
故t的取值范围：t≤-1