Question

过曲线C：f（x）=x³-ax+b外的点A（1，0）作曲线C的切线恰有两条，
（1）求a，b满足的等量关系；
（2）若存在x∈R⁺，使成立，求a的取值范围．

Answer

（1）设出切点，求出切点处的导函数即切线的斜率，据点斜式写出切线的方程，将切点代入，列出关于切点横坐标的方程，据题意此方程有两个根，构造函数，通过导函数求出两个极值，令极值为0，求出a，b的关系．
（2）写出不等式，分离出参数a，构造函数g（x），将问题转化为a＜g（x）的最大值；通过对g（x）求两阶导数求g（x）的最值．
【解析】
（1）f′（x）=3x2-a，
过点A（1，0）作曲线C的切线，设切点（x，f（x）），则切线方程为：y=（3x2-a）（x-1）
将（x，f（x））代入得：f（x）=（3x2-a）（x-1）=x3-ax+b
即2x3-3x2+a-b=0（*）    由条件切线恰有两条，方程（*）恰有两根．
令u（x）=2x3-3x2+a-b，u′（x）=6x2-6x=6x（x-1），显然有两个极值点x=0与x=1，
于是u（0）=0或u（1）=0
当u（0）=0时，a=b；
当u（1）=0时，a-b=1，此时f（x）=x3-ax+a-1=（x-1）（x2+x+1-a）经过（1，0）与条件不符
所以a=b
（2）因为存在x∈R+，使，即
所以存在x∈R+，使，得，即成立
设g（x）=x2-ex（x＞0），问题转化为a＜g（x）的最大值
g′（x）=2x-ex，
g′′（x）=2-ex，令g′′（x）=0得x=ln2，
当x∈（0，ln2）时g′′（x）＞0此时g′（x）为增函数，当x∈（ln2，+∞）时g′′（x）＜0，此时g′（x）为减函数，
所以g′（x）的最大值为g′（ln2）=2ln2-eln2=2ln2-2=2（ln2-1）
∵ln2＜1，∴g′（x）的最大值g′（ln2）＜0，得g′（x）＜0
所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，g（x）＜g（0）=-1
因此a≤-1．