Question

学数学，其实是要使人聪明，使人的思维更加缜密，在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两个加工资的方案．一是每年年末加一千元；二是每半年结束时加300元．请选择一种．一般不擅长数学的人很容易选择前者，因为一年加一千元总比两个半年共加600元要多．其实，由于工资累计的，时间稍长，往往第二种方案更有利．例如在第二年的年末，依第一种方案可以加得1000+2000=3000元，而第二种方案在第一年加得300+600=900元，第二年加得900+1200=2100元，总数也是900+2100=3000元．但到了第三年，第一种方案可以得到1000+2000+3000=6000元，第二种方案可以得到300+600+900+1200+1500+1800=6300元，比第一方案多了300元．第四年，第五年会更多．因此，你若会在公司干三年以上，则应选择第二种方案．
根据以上材料，解答以下问题：
（1）如果在该公司干10年，问选择第二方案比选择第一方案多加薪多少元？
（2）如果第二方案中得每半年加300元改成每半年加 a元，问 a取何值时，选择第二方案总是比选择第一方案多加薪？

Answer

（1）第一方案、第二方案的加薪额都是递增的等差数列，到第10年末，第一方案加薪总额为：1000+2000+3000+…+10000；第二方案加薪总额为：300+300×2+300×3+…+300×20；在该公司干满10年，作差比较可知，第二方案比第一方案多加薪多少；
（2）第n年（n∈N*）选择第二方案总比选择第一方案加薪多，即等差数列的前n项和：2na+a＞1000n+×1000；整理，得a，右边=250，对于n∈N*时恒成立，存在最大值，从而得出a的取值范围．
【解析】
（1）由题意，第一方案每年的加薪额，第二方案每半年的加薪额都构成等差数列
第10年末，第一方案加薪总额为：1000+2000+3000+…+10000=55000元，
第二方案加薪总额为：300+300×2+300×3+…+300×20=63000元，
所以在该公司干10年，选择第二方案比选择第一方案多加薪：63000-55000=8000元；
（2）由题意，第n年（n∈N*）选择第二方案总比选择第一方案加薪多，
则由等差数列的前n项和公式：2na+a＞1000n+×1000
化简得a=250，对于n∈N*时恒成立，
又当n=1时，取最大值，此时250取得最大值；所以，
当a＞时选择第二方案总是比选择第一方案多加薪．