Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，
棱AA₁=2，M、N分别为A₁B₁、A₁AD的中点．
（ I ）求 ＞的值；
（II）求证：BN⊥平面C₁MN；
（ III）求点B₁到平面C₁MN的距离．

Answer

（ I ）建立空间坐标系，求出各个点的坐标，利用两个向量的夹角公式 求得 ＞的值．
（II） 由=0，=0，得到 ，，
从而得到BN⊥平面C1MN．
（II） 设点B1到平面C1MN的距离为h，由VB1-C1MN=，解方程求得 h 值．
【解析】
（ I ） 以CA所在直线为x轴，以CB所在直线为y轴，以CC1所在直线为z轴建立空间坐标系．
则A（1，0，0），B（0，1，0），A1 （1，0，2），B1 （ 0，1，2），C1（0，0，2），M（，，2），
N（1，0，1），
∵=（1，-1，2），=（ 0，1，2）． 
∴===．
（II）∵=（1，-1，1），=（，，0），=（1，0，-1），
∴=-+0=0，=1-0-1=0，∴，，
∴BN⊥平面C1MN．
（ III）设点B1到平面C1MN的距离为h，∵VB1-C1MN=，
∴×（MN•MC1 ）h=×（B1M•C1M ） NA1，
即  ×（• ）h=×（•• ）×1，∴h=．