Question

关于函数（a为常数，且a＞0），对于下列命题：
①函数f（x）在每一点处都连续；
②若a=2，则函数f（x）在x=0处可导；
③函数f（x）在R上存在反函数；
④函数f（x）有最大值；
⑤对任意的实数x₁＞x₂≥0，恒有f（）＜；
其中正确命题的序号是    ．

Answer

①只需说明在点x=0处连续，只需说明在x=0时，两段都有意义且函数值相等；
②只需说明在x=0时，两段导函数都有意义且函数值相等；
③只需说明函数f（x）在R上不是单调函数，用导数来证；
④求导，判断f（x）的单调性，从而求出极大值，也就是最大值；
⑤已知函数在R上先增后减，所以f（x）的图象在[0，+∞）上是上凸的，所以任取两点连线应在图象的下方，故⑤错误．
【解析】
①x=0时，（0-3）e=-3，x=0时，2ax-3有意义，且2ax-3=-3，
∴函数f（x）在x=0处都连续，即函数f（x）在每一点处都连续；
∴①正确
②f′（x）=（a＞0），
x=0时，e（4-0）=4，令2a=4得a=2，
∴a=2，函数f（x）在x=0处可导；
∴②正确
③令f′（x）＞0，得x＜4，令f′（x）＜0，得x＞4，
∴f（x）在（-∞，4]上是增函数，在[4，+∞）上是减函数，
∴函数f（x）在R上不存在反函数；
∴③错误
④令f′（x）=0，得x=4，x＜4时，f′（x）＞0，x＞4时，f′（x）＜0，
∴x=4时，f（x）有最大值为f（4）=e-4=；
∴④正确
⑤在函数f（x）[0，+∞）上任取两点（x1，f（x1））（x2，f（x2））
∵f（x）的图象在[0，+∞）上是上凸的，所以两点连线应在图象的下方，
∴f（）＞
∴⑤错误．
故答案为①②④