Question

已知S_n是数列的前n项和；
（1）分别计算S₂-S₁，S₄-S₂，S₈-S₄的值；
（2）证明：当n≥1时，，并指出等号成立条件；
（3）利用（2）的结论，找出一个适当的T∈N，使得S_r＞2008．

Answer

（1）较为简单，代入可计算；
（2）由（1）可猜想（2）的结论也是成立的，证明时要适当的放缩每一项（共2n-1项）都缩小为 ，
（3）的解答可由（2）的结论想到：新数列S2-S1，S4-S2，S8-S4…中每一项的值都大于等于 ，那么4018项的和为2009，于是对于数列{an}中连同a1就有24019项，即a1+＞1+2009=2010．
【解析】

（1）S2-S1=，
S4-S2=，
S8-S4=．（2分）
（2）当n≥1时，=+…+（共2n-1项）
≥×2n-1=，当且仅当n=1时，等号成立．（4分）
（3）由于S1=1，当n≥1时，≥，
于是，要使得ST＞2008，只需 ＞2007．
将 按照第一组21项，第二组22项，，第n组2n项的方式分组（6分）
由（2）可知，每一组的和不小于 ，且只有n=1时等于 ，
将这样的分组连续取2×2007组，加上a1，共有24015项，
这24015项之和一定大于1+2007=2008，
故只需T=24015，就能使得ST＞2008．