Question

如图，已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，其右准线l与x轴的交点为T，过椭圆的上顶点A作椭圆的右准线l的垂线，垂足为D，四边形AF₁F₂D为平行四边形．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设线段F₂D与椭圆交于点M，是否存在实数λ，使？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由；
（3）若B是直线l上一动点，且△AF₂B外接圆面积的最小值是4π，求椭圆方程．

Answer

（1）由AD=F1F2得到a与c的关系进而得到．
（2）得到a，b，c的关系且设出各点的坐标可得，直线F2D的方程是x-y-c=0联立直线与椭圆的方程得，进而得到．
（3）设圆心N的坐标为（n，n），圆过准线上一点B，则圆与准线有公共点所以可得n≤-3c或n≥c又
（πr2）min=c2π=4π，则c2=4．
【解析】
（1）依题意：AD=F1F2，即，
所以离心率．
（2）由（Ⅰ）知：，b=c，
故A（0，c），D（2c，c），F2（c，0），T（2c，0），
所以椭圆方程是，即x2+2y2=2c2，
直线F2D的方程是x-y-c=0
由，{解得：，{（舍去）或，{
即，
，所以，
即存在λ=3使成立．
（3）由题可知圆心N在直线y=x上，设圆心N的坐标为（n，n），
因圆过准线上一点B，则圆与准线有公共点，
设圆心N到准线的距离为d，则NF2≥d，即，
解得：n≤-3c或n≥c，
又
由题可知，（πr2）min=c2π=4π，则c2=4，
故椭圆的方程为．