Question

已知数列{x_n}中，．
（Ⅰ）当p=2时，用数学归纳法证明
（Ⅱ）是否存在正整数M，使得对于任意正整数n，都有x_M≥x_n．

Answer

（Ⅰ）求出p=2时的表达式，利用数学归纳法的证明步骤，证明不等式，（1）验证n=1不等式成立；（2）假设n=k时成立，证明n=k+1时成立．
（Ⅱ）（1）验证n=1不等式成立；（2）假设n=k时成立，证明n=k+1时成立．
证明：由x1=1，知，xn＞0（n∈N*），
（Ⅰ）当p=2时，，
（1）当n=1时，x1=1＜，命题成立．
（2）假设当n=k时，，
则当n=k+1时，，
即n=k+1时，命题成立．
根据（1）（2），（n∈N*）．（4分）
（Ⅱ）用数学归纳法证明，xn+1＞xn（n∈N*）．
（1）当n=1时，＞1=x1，命题成立．
（2）假设当n=k时，xk+1＞xk，
∵xk＞0，p＞0，
∴，
则当n=k+1时，，
即n=k+1时，命题成立．
根据（1）（2），xn+1＞xn（n∈N*）．（8分）
故不存在正整数M，使得对于任意正整数n，都有xM≥xn．（10分）