Question

如图，四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，E、F分别为AD、AC的中点，BC⊥CD．
求证：（1）EF∥平面BCD（2）BC⊥平面ACD．

Answer

（1）欲证EF∥平面BCD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF平行平面BCD内一直线平行，根据中位线可知EF∥DC，而EF⊄平面BCD，DC⊂平面BCD，满足定理所需条件；
（2）欲证BC⊥平面ACD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面ACD内两相交直线垂直，而BC⊥AD，BC⊥CD，AD∩CD=D，满足定理所需条件．
证明：（1）∵AE=ED，AF=FC
∴EF∥DC，而EF⊄平面BCD，DC⊂平面BCD
∴EF∥平面BCD
（2）∵AD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD
∴BC⊥AD而BC⊥CD，AD∩CD=D
∴BC⊥平面ACD