Question

如图，正四棱锥P-ABCD中，侧棱PA与底面ABCD所成角的正切值为．
（1）求侧面PAD与底面ABCD所成二面角的大小；
（2）若E是PB中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值．

Answer

（1）连接AC、BD交于点O，连接PO，则PO⊥面ABCD，则∠PAO就是PA与底面ABCD所成的角，设AB=1，则可得则PO=AO•tan∠PAO
设F为AD中点，连FO、PF，易知OF⊥AD，PF⊥AD，所以∠PFO就是侧面PAD与底面ABCD所成二面角的平面角，在Rt△POF中可求∠PFO
（2）容易证明EO．可得∠AEO就是异面直线PD与AE所成的角，在Rt△AOE中求解
【解析】
（1）连接AC、BD交于点O，连接PO，则PO⊥面ABCD，（1分）
∴∠PAO就是PA与底面ABCD所成的角，∴tan∠PAO=．（2分）
设AB=1，则PO=AO•tan∠PAO==．（3分）
设F为AD中点，连FO、PF，
易知OF⊥AD，PF⊥AD，所以∠PFO就是侧面PAD与底面ABCD所成二面角的平面角．（4分）
在Rt△POF中，，
∴∠PFO=60°，即侧面PAD与底面ABCD所成二面角的大小为60°；（5分）
（2）连接EO，由于O为BD中点，E为PB中点，所以，EO．
∴∠AEO就是异面直线PD与AE所成的角．（6分）
在Rt△POD中，．∴．（7分）
由AO⊥BD，AO⊥PO可知AO⊥面PBD．所以，AO⊥EO（8分）
在Rt△AOE中，，
即异面直线PD与AE所成角的正切值为．（9分）