Question

已知函数是奇函数，
（1）求k的值；
（2）在（1）的条件下判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并运用单调性的定义予以证明．

Answer

（1）由已知中函数是奇函数，根据奇函数的定义，我们可构造一个关于k的方程，解方程即可得到答案．但由于对数要求真数部分大于0，故还要对k值进行判断，以去除增根．
（2）利用定义法（作差法），任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，确定f（x1）-f（x2）的符号，即可根据单调性的定义得到结论．
【解析】
（1）f（x）是奇函数，则f（-x）=-f（x）．
由f（-x）=-f（x）⇒1-k2x2=1-x2⇔k2=1⇔k=1或k=-1．（2分）
当k=1时，，这与题设矛盾，
当k=-1时，为奇函数，满足题设条件．（4分）
（2）在（1）的条件下，在（1，+∞）上是减函数，证明如下：
设x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，则=，（6分）
∵x2＞x1＞1∴x1x2-x1+x2-1＞x1x2-x2+x1-1＞0，
即，（7分）
又a＞1，∴f（x1）-f（x2）＞loga1=0
即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（1，+∞）上是减函数．（8分）