过x轴上的动点A（a，0）引抛物线y=x2+1的两切线AP，AQ．P，Q为切点．...

过x轴上的动点A（a，0）引抛物线y=x²+1的两切线AP，AQ．P，Q为切点．
（I）求切线AP，AQ的方程；
（Ⅱ）求证直线PQ过定点；
（III）若a≠0，试求 manfen5.com 满分网

的最小值．

（I）设切点P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可得，=，由导数的几何意义可得，KAP=2x1 ，解方程可得切点，进而可求切线方程（II）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题知y1=2x1a+2，y2=2x2a+2，可知直线PQ的方程是y=2ax+2，直线PQ过定点（0，2）．（Ⅲ）要使最小，就是使得A到直线PQ的距离最小，而A到直线PQ的距离．由引入手能够推导出•的最小值【解析】（I）设切点P（x1，y1），Q（x2，y2）由题意可得，=，由导数的几何意义可得，KAP=2x1 ∴ 整理可得x12-2ax1-1=0，同理可得x22-2ax2-1=0 从而可得x1，x2是方程x2-2ax-1=0的两根 ∴，，故可得切线AP方程为：，切线AQ的方程（II）设P（x1，y1），Q（x2，y2）由于y'=2x，故切线AP的方程是：y-y1=2x1（x-x1）则-y1=2x1（a-x1）=2x1a-2x12=2x1a-2（y1-1） ∴y1=2x1a+2，同理y2=2x2a+2 则直线PQ的方程是y=2ax+2，则直线PQ过定点（0，2）（Ⅲ）联立可得x2-2ax-1=0 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=2a，x1x2=-1 ∴PQ== 点A（a，0）到直线PQ的距离d= ∴=•= ∴= 令则t＞1 F（t）=，则令g（t）=F2（t）=（t＞1） =（t＞1）当时，函数g（t）单调递增，即F（t）单调递增当时，函数g（t）单调递减，即F（t）单调递减 ∴当t=时，函数F（t）有最小值即的最小值

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考点分析：

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，离心率

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试题属性

题型：解答题
难度：中等