Question

某个体经营者，一月初向银行贷款1万元作为开店启动资金，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需要交纳所得税为该月利润的10%，每月的生活费开支为540元，余款作为资金全部投入下个月的经营，如此不断继续．问到这年年底该个体户还贷款前尚余多少资金？假设银行贷款的年利息为5%，该个体户还清银行贷款后还有多少资金？（参考数据：1.18¹⁰≈5.23，1.18¹¹≈6.18，1.18¹²≈7.29．结果精确到0.1元）

Answer

表示出第一个月底的余款，表示出第二个月底的余款，写出第n个月底的余款，整理出关于n的数列，配凑出等比数列，根据等比数列通项公式做出结果．
【解析】
第一个月月底的余款
a1=10000×（1+20%）-10000×20%×10%-540=11260（元）．
设第n个月月底的余款为an元，第n+1个月月底的余款为an+1元，
则有an+1=an×（1+20%）-an×20%×10%-540=1.18an-540．
令（an+1-t）=1.18（an-t），得0.18t=540
∴t=3000
从而有a n+1-3000=1.18（an-3000），
设bn=an-3000，b1=7000，
∴{bn}是等比数列bn=b 1×1.18n-1，
∴an=7000×1.18n-1+3000，
a12=7000×1.18 11+3000≈46260，
还贷后纯收入为46260-10000（1+5%）=35760元．
即还清银行贷款以后还有35760元．