(1)把所给的递推式整理,构造要求的数列形式,仿写一个递推式,用数列的后一项去减前一项,合并同类项,发现满足等差中项公式,得到结论.
(2)写出(1)中的数列通项,用叠乘的方法把其他项都约去,得到第n项和第一项,因第一项可求出结果,所以得到通项公式.
(3)根据表中构造的新数列,由它的特点写出第n行的各数之和,代入所求数列的通项,整理出组合数形式,用二项式定理的各项系数之间的关系,得到第n行的各数之和,于是构造一个新数列用等比数列前n项和公式求解.
【解析】
(I)∵
=
=,
∴,
∴数列满足等差中项公式为等差数列.
(II)由(I)得
故当n≥2时,
即
又当n=1时,满足上式
所以通项公式为.
(III)∵
∴第n行各数之和
∴表中前n行所有数的和
Sn=(22-2)+(23-2)++(2n+1-2)
=(22+23++2n+1)-2n
=
=2n+2-2n-4