Question

数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，．
（1）求a₃，a₄，a₅，a₆；
（2）设，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n；
（3）在（2）的条件下，证明当n≥6时，．

Answer

（1）由a1=1，a2=2，知，由此能求出a4，a5，a6．
（2）由，知a2n+1-a2n-1=1．所以a2n-1=n．再由，知a2n=2n．所以，，由此能导出Sn．
（3）要证明当n≥6时，成立，只需证明当n≥6时，成立，用数学归纳法证明即可．
【解析】
（1）【解析】
因为a1=1，a2=2，所以，
a4=（2-|sinπ|）a2+|sinπ|=2a2=4，
同理a5=3，a6=8．（4分）
（2）【解析】
因为，
即a2n+1-a2n-1=1．
所以数列{a2n-1}是首项为1，公差为1的等差数列，因此a2n-1=n．
又因为，
所以数列{a2n}是首项为2，公比为2的等比数列，因此a2n=2n．
所以，．（7分），①．②
由①-②，得．
所以．（10分）
（3）证明：要证明当n≥6时，成立，只需证明当n≥6时，成立．（11分）
证：①当n=6时，成立．
②假设当n=k（k≥6）时不等式成立，即．
则当n=k+1时，．
由①②所述，当n≥6时，，即当n≥6时，．（15分）