Question

已知点F（a，0）（a＞0），直线l：x=-a，点E是l上的动点，过点E垂直于y轴的直线与线段EF的垂直平分线交于点P．
（1）求点P的轨迹M的方程；
（2）若曲线M上在x轴上方的一点A的横坐标为a，过点A作两条倾斜角互补的直线，与曲线M的另一个交点分别为B、C，求证：直线BC的斜率为定值．

Answer

（1）由垂直平分线的性质可得|PF|=|PE|，从而有点P的轨迹是以F为焦点，以直线l为准线的抛物线．根据抛物线的定义可求
（2）直线AB的斜率为k（k≠0），点B（x1，y1），C（x2，y2），A（a，2a）．则直线AB的方程为y-2a=k（x-a）.消去x，得ky2-4ay+4a2（2-k）=0．由y1，2a是方程的两个根，可求，同理可得，代入斜率公式可求
【解析】
（1）连接PF．∵点P在线段EF的垂直平分线上，
∴|PF|=|PE|．∴点P的轨迹是以F为焦点，以直线l为准线的抛物线．
∴p=2a．∴点P的轨迹为M：y2=4ax（a＞0）．
（2）直线AB的斜率为k（k≠0），点B（x1，y1），C（x2，y2），A（a，2a）．
则直线AB的方程为y-2a=k（x-a）.消去x，得ky2-4ay+4a2（2-k）=0．
△=16a2（k-1）2≥0
∵y1，2a是方程的两个根，
∴．，∴．
依题意，直线AC的斜率为-k．
同理可得．
∴．
∴
所以直线BC的斜率为定值．