Question

已知直线l：y=kx+1，椭圆E：．
（Ⅰ）若不论k取何值，直线l与椭圆E恒有公共点，试求出m的取值范围及椭圆离心率e关于m的函数关系式；
（Ⅱ）当时，直线l与椭圆E相交于A，B两点，与y轴交于点M．若，求椭圆E的方程．

Answer

（Ⅰ）由直线l恒过定点M（0，1），且直线l与椭圆E恒有公共点，知点M（0，1）在椭圆E上或其内部，得，由此能求出求出m的取值范围及椭圆离心率e关于m的函数关系式．
（Ⅱ）由，消去y得．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．M（0，1），由得x1=-2x2．由此得．从而得到椭圆E的方程．
【解析】
（Ⅰ）∵直线l恒过定点M（0，1），且直线l与椭圆E恒有公共点，
∴点M（0，1）在椭圆E上或其内部，得，
解得m≥1，且m≠3．（3分）
（联立方程组，用判别式法也可）
当1≤m＜3时，椭圆的焦点在x轴上，；
当m＞3时，椭圆的焦点在y轴上，．
∴（6分）
（Ⅱ）由，消去y得．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②．
∵M（0，1），∴由得x1=-2x2③．（9分）
由①③得④．
将③④代入②得，，解得m2=6（m2=-15不合题意，舍去）．
∴椭圆E的方程为．（12分）