Question

已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，P为双曲线右支上任意一点，当取得最小值时，该双曲线离心率的最大值为    ．

Answer

由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a，=+4a+|PF2|，使用基本不等式求得当取得最小值时，|PF1|和|PF2|的值，△PF1F2  中，由余弦定理可得 的最大值．
【解析】
由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a，∴|PF1|=2a+|PF2|，
∴==+4a+|PF2|≥4a+2=8a．
当且仅当 =|PF2|，即|PF2|=2a 时，等号成立，此时，|PF1|=4a．
△PF1F2  中，由余弦定理可得  4c2=16a2+4a2-16a2 cos∠F1 PF2=20a2-16a2 cos∠F1 PF2   
≤36a2，故   c2≤9 a2，∴≤3，
故答案为：3．