Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=BB₁=a，直线B₁C与平面ABC成30°角．
（1）求证：平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁；
（2）求二面角B-B₁C-A的正切值．

Answer

（1）根据三棱锥是一个直三棱锥得到侧棱与底面垂直，进而得到线与线垂直，根据面面垂直的判定定理得到线与面垂直．
（2）根据线面垂直得到∠BCB 1为直线B1C与平面ABC所成的角，由三垂线定理知AN⊥B1C从而∠ANM为二面角B-B1C-A的平面角，把平面角放到一个可解的三角形中，设出线段的长度，求出二面角的正切值．
【解析】
（1）三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱
∴AA1⊥底面ABC
又∵AC⊂面ABC
∴AA1⊥AC
又∵AC⊥AB，AB∩AA1=A，
∴AC⊥平面ABB1A1
又∵AC⊂面B1AC
∴平面B1AC⊥平面ABB1A1；
（2）∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱
∴BB1⊥底面ABC
∠BCB 1为直线B1C与平面ABC所成的角，即∠BCB 1=30° 
过点A作AM⊥BC于M，过M作MN⊥B1C于N，连接AN．
∴平面BB1CC1⊥平面ABC
∴AM⊥平面BB1C1C
由三垂线定理知AN⊥B1C从而∠ANM为二面角B-B1C-A的平面角．
设AB=BB1=a
在Rt△B1BC中，BC=BB1 cot30=a
在Rt△BAC中，由勾股定理知AC==a
又∵AM==
在Rt△AMC中，CM=
在Rt△MNC中，MN=CM=
在Rt△AMN中，tan∠ANM==
即二面角B-B1C-A的正切值为