Question

已知等比数列{a_n}的首项为a₁=2，公比为q（q为正整数），且满足3a₃是8a₁与a₅的等差中项；数列{b_n}满足2n²-（t+b_n）n+b_n=0（t∈R，n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）试确定t的值，使得数列{b_n}为等差数列；
（3）当{b_n}为等差数列时，对任意正整数k，在a_k与a_k+1之间插入2共b_k个，得到一个新数列{c_n}．设T_n是数列{c_n}的前n项和，试求满足T_n=2c_m+1的所有正整数m的值．

Answer

（1）由3a3是8a1与a5的等差中项得到6a3=8a1+a5，根据首项2和公比q，利用等比数列的通项公式化简这个式子即可求出q的值，利用首项和公比即可得到通项公式；
（2）由2n2-（t+bn）n+bn=0解出bn，列举出b1，b2和b3，要使数列{bn}为等差数列，根据等差数列的性质可知b1+b3=2b2，把b1，b2和b3的值代入即可求出t的值；
（3）显然c1=c2=c3=2，容易判断m=1时不合题意，m=2适合题意，当m大于等于3时，得到cm+1必是数列{an}中的某一项ak+1，然后根据Tn=2cm+1列举出各项，利用等差、等比数列的求和公式化简后得到2k=k2+k-1，把k=1，2，3，4，代入等式得到不是等式的解，利用数学归纳法证明得到k大于等于5时方程没有正整数解，所以得到满足题意的m仅有一个解m=2．
【解析】
（1）因为6a3=8a1+a5，所以6q2=8+q4，
解得q2=4或q2=2（舍），则q=2
又a1=2，所以an=2n
（2）由2n2-（t+bn）n+bn=0，得bn=，
所以b1=2t-4，b2=16-4t，b3=12-2t，
则由b1+b3=2b2，得t=3
而当t=3时，bn=2n，由bn+1-bn=2（常数）知此时数列{bn}为等差数列；
（3）因为c1=c2=c3=2，易知m=1不合题意，m=2适合题意
当m≥3时，若后添入的数2等于cm+1个，则一定不适合题意，
从而cm+1必是数列{an}中的某一项ak+1，
则（2+22+23+…+2k）+2（b1+b2+b3+…+bk）=2×2k+1，
即，即2k+1-2k2-2k+2=0．
也就是2k=k2+k-1，
易证k=1，2，3，4不是该方程的解，而当n≥5时，2n＞n2+n-1成立，证明如下：
1°当n=5时，25=32，k2+k-1=29，左边＞右边成立；
2°假设n=k时，2k＞k2+k-1成立，
当n=k+1时，2k+1＞2k2+2k-2=（k+1）2+（k+1）-1+k2-k-3
≥（k+1）2+（k+1）-1+5k-k-3=（k+1）2+（k+1）-1+k+3（k-1）＞（k+1）2+（k+1）-1
这就是说，当n=k+1时，结论成立．
由1°，2°可知，2n＞n2+n-1（n≥5）时恒成立，故2k=k2+k-1无正整数解．
综上可知，满足题意的正整数仅有m=2．