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椭圆manfen5.com 满分网+manfen5.com 满分网=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点,若AF⊥BF,设∠ABF=a,且a∈[manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网],则该椭圆离心率的取值范围为( )
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设左焦点为F′,根据椭圆定义:|AF|+|AF′|=2a,根据B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|,推知|AF|+|BF|=2a,又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c,在Rt△ABF中用α和c分别表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出即离心率e,进而根据α的范围确定e的范围. 【解析】 ∵B和A关于原点对称 ∴B也在椭圆上 设左焦点为F′ 根据椭圆定义:|AF|+|AF′|=2a 又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a  …① O是Rt△ABF的斜边中点,∴|AB|=2c 又|AF|=2csinα    …② |BF|=2ccosα    …③ ②③代入①2csinα+2ccosα=2a ∴= 即e== ∵a∈[,], ∴≤α+π/4≤ ∴≤sin(α+)≤1 ∴≤e≤ 故选B
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