Question

已知椭圆的某个焦点为F，双曲线（a，b＞0）的某个焦点为F．
（1）请在______

Answer

（1）可以考虑椭圆的离心率，长轴长等；或椭圆所经过的点；或椭圆的准线及利用椭圆的定义给出条件
（2）一：考虑椭圆的某个焦点为F，定点P（m，n）满足的相关的性质
 二：考虑双曲线（a，b＞0）的某个焦点为F，定点P（m，n）满足相关的性质
（3）先求以PF为直径的圆的方程为，设A（0，y1），B（0，y2），则可得，从而可得直线PA的方程为，即px-2y1y+2y12=0
联立，可得到y2-4y1y+4y12=0，通过判断△=0
【解析】
（1）补充一：椭圆的离心率为，且椭圆的长轴长为
补充二：椭圆过和
补充三：椭圆上任一点到椭圆两焦点的距离和为，且椭圆的一条准线长为
类似地还可以有很多补充，这里不再赘述，评卷员视实际情况给分，本题满分（2分）
（2）命题一：已知椭圆的某个焦点为F，定点P（m，n）满足，
以PF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于A、B两点，则PA、PB与椭圆相切．（5分）
命题二：已知双曲线（a，b＞0）的某个焦点为F，定点P（m，n）满足，
以PF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于A、B两点，则PA、PB与双曲线相切．（9分）
（3）证明：以PF为直径的圆的方程为，
设A（0，y1），B（0，y2），
则，
直线PA的方程为，即px-2y1y+2y12=0
联立，
消去x得到y2-4y1y+4y12=0，所以△=0，所以直线PA与抛物线相切．
同理可证PB与抛物线相切．（13分）