Question

在平面直角坐标系中，已知点，点B在直线上运动，过点B与l垂直的直线和AB的中垂线相交于点M．
（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设点P是轨迹E上的动点，点R，N在y轴上，圆C：（x-1）²+y²=1内切于△PRN，求△PRN的面积的最小值．

Answer

（1）设点M的坐标为（x，y），由题设知，|MB|=|MA|．根据抛物线的定义可知点M的轨迹为抛物线，根据焦点和准线方程，则可得抛物线方程．
（2）设P（x，y），R（0，b），N（0，c），且b＞c，则直线PR的方程可得，由题设知，圆心（1，0）到直线PR的距离为1，把x，y代入化简整理可得（x-2）b2+2yb-x=0，同理可得（x-2）c2+2yc-x=0，进而可知b，c为方程（x-2）x2+2yx-x=0的两根，根据求根公式，可求得b-c，进而可得△PRN的面积的表达式，根据均值不等式可知当当x=4时面积最小，进而求得点P的坐标．
【解析】
（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），由题设知，|MB|=|MA|．
所以动点M的轨迹E是以为焦点，
为准线的抛物线，其方程为y2=2x；
（Ⅱ）设P（x，y），R（0，b），N（0，c），且b＞c，
故直线PR的方程为（y-b）x-xy+xb=0．
由题设知，圆心（1，0）到直线PR的距离为1，
即．
注意到x＞2，化简上式，得（x-2）b2+2yb-x=0，
同理可得（x-2）c2+2yc-x=0．
由上可知，b，c为方程（x-2）x2+2yx-x=0的两根，
根据求根公式，可得．
故△PRN的面积为
，
等号当且仅当x=4时成立．此时点P的坐标为或．
综上所述，当点P的坐标为或时，△PRN的面积取最小值8．