Question

已知动点P（x，y）到点F（0，1）与到直线y=-1的距离相等，
（1）求点P的轨迹L的方程；
（2） 若正方形ABCD的三个顶点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）（x₁＜0≤x₂＜x₃）在（1）中的曲线L上，设BC的斜率为k，l=|BC|，求l关于k的函数解析式l=f（k）；
（3）求（2）中正方形ABCD面积S的最小值．

Answer

（1）利用抛物线的定义得到点P的轨迹是抛物线；利用抛物线的方程写出轨迹方程．
（2）利用直线方程的点斜式设出直线AB，BC，将两直线方程分别于抛物线联立；利用韦达定理及弦长公式表示出AB，BC；由正方形的边长相等，得到斜率与坐标的关系，代入BC中，得到函数解析式l=f（k）．
（3）求面积的最小值即求BC的最小值，利用基本不等式求出正方形边长的最小值．
【解析】
（1）由题设可得动点P的轨迹方程为x2=4y．（4分）
（2）由（1），可设直线BC的方程为：（k＞0），，
易知x2、x3为该方程的两个根，故有x2+x3=4k，得x3=4k-x2，
从而得（6分）
类似地，可设直线AB的方程为：，
从而得，（8分）
由|AB|=|BC|，得k2•（2k-x2）=（2+kx2），
解得，（k＞0）．（10分）
（3）因为，（12分）
所以S=l2≥32，即S的最小值为32，
当且仅当k=1时取得最小值．（14分）