Question

已知动点P的轨迹为曲线C，且动点P到两个定点F₁（-1，0），F₂（1，0）的距离的等差中项为．
（1）求曲线C的方程；
（2）直线l过圆x²+y²+4y=0的圆心Q与曲线C交于M，N两点，且为坐标原点），求直线l的方程；
（3）设点，点P为曲线C上任意一点，求的最小值，并求取得最小值时点P的坐标．

Answer

（1）利用已知条件推断出的值，进而求得椭圆方程中的长轴长，则a可求，利用定点坐标求得焦距，则b可求得，最后求得椭圆的方程．
（2）设出M，N的坐标，利用判断出x1x2+y1y2=0设出直线l的方程代入椭圆的方程消去y，利用韦达定理表示出x1x2和x1+x2利用直线方程求得y1y2，代入x1x2+y1y2=0求得k，则直线l的方程可得．
（3）先利用椭圆的第二定义表示出到焦点与准线的距离求得点P到右准线的距离与的关系式，进而推断出此时的最小值为点A到右准线x=2的距离，则点P的坐标和最小距离可求得．
【解析】
（1）据已知，
所求曲线C是椭圆，长轴，，c=1，
所以椭圆的方程为．
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），
由，
设l：y=kx-2，
y1=kx1-2，y2=kx2-2，y1y2=k2x1•x2-2k（x1+x2）+4，
（1+k2）x1x2-2k（x1+x2）+4=0（*）．
联立，得x2+2（kx-2）2=2，
x1，x2为上述方程的两根，
∴
代入（*）得，
所求直线
（3）椭圆的右准线为x=2，设点P到右准线的距离为d，
则，，
此时的最小值为点A到右准线x=2的距离，，
此时点P的坐标为．