Question

设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁（-2，0），左准线l₁与x轴交于点N（-3，0），过点N且倾斜角为30°的直线l交椭圆于A、B两点．
（1）求直线l和椭圆的方程；
（2）求证：点F₁（-2，0）在以线段AB为直径的圆上；
（3）在直线l上有两个不重合的动点C、D，以CD为直径且过点F₁的所有圆中，求面积最小的圆的半径长．

Answer

（1）用点斜式写出直线的方程，由焦点坐标和准线方程求出椭圆的长半轴、短半轴的长，写出椭圆的方程．
（2）将直线方程代入椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，计算x1+x2和x1x2的值，利用2个向量数量积公式计算•=0，得到F1A⊥F1B，所以点F1在以线段AB为直径的圆上．
（3）面积最小的圆的半径长应是点F1到直线l的距离，用点到直线的距离公式求出圆的最小半径．
【解析】
（1）直线l：y=（x+3），
由已知c=2及=3，解得a2=6，
∴b2=6-22=2．
x2+3y2-6=0，①
∴椭圆方程为+=1．
（2） y=（x+3），②
将②代入①，整理得2x2+6x+3=0．③
设A（x1，y1）、B（x2，y2），
则x1+x2=-3，x1x2=．
∵•=（x1+2，y1）•（x2+2，y2）=（x1+2）（x2+2）+y1y2
=x1x2+2（x1+x2）+4+[x1x2+3（x1+x2）+9]=x1x2+3（x1+x2）+7=0，
∴F1A⊥F1B．则∠AF1B=90°．
∴点F1（-2，0）在以线段AB为直径的圆上．
（3）【解析】
面积最小的圆的半径长应是点F1到直线l的距离，设为r．
∴r==为所求．