Question

已知函数（a＞1），求证：
（1）函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；
（2）方程f（x）=0没有负数根．

Answer

（1）证明函数的单调性，一个重要的基本的方法就是根据函数单调性的定义；
（2）对于否定性命题的证明，可用反证法，先假设方程f（x）=0有负数根，经过层层推理，最后推出一个矛盾的结论．
证明：（1）设-1＜x1＜x2，
则
=，
∵-1＜x1＜x2，∴x1+1＞0，x2+1＞0，x1-x2＜0，
∴；
∵-1＜x1＜x2，且a＞1，∴，∴，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；
（2）假设x是方程f（x）=0的负数根，且x≠-1，则，
即，①
当-1＜x＜0时，0＜x+1＜1，∴，
∴，而由a＞1知．∴①式不成立；
当x＜-1时，x+1＜0，∴，∴，而．
∴①式不成立．综上所述，方程f（x）=0没有负数根．