Question

已知两个数列{S_n}、{T_n}分别：
当n∈N^*，S_n=1-，T_n=．
（1）求S₁，S₂，T₁，T₂；
（2）猜想S_n与T_n的关系，并用数学归纳法证明．

Answer

（1）由已知直接利用n=1，2，求出S1，S2，T1，T2的值；
（2）利用（1）的结果，直接猜想Sn=Tn，然后利用数学归纳法证明，①验证n=1时猜想成立；②假设n=k时，Sk=Tk，通过假设证明n=k+1时猜想也成立即可．
【解析】
（1）S1=1-=，S2=1-=
T1=，T2==（2分）
（2）猜想：Sn=Tn（n∈N*），即：
1-=．
（n∈N*）（5分）
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，已证S1=T1（6分）
②假设n=k时，Sk=Tk（k≥1，k∈N*），
即：（8分）
则：Sk+1=Sk=Tk（10分）
=（11分）
=
==Tk+1，
由①，②可知，对任意n∈N*，Sn=Tn都成立．（14分）