Question

已知一几何体的直观图和三视图如下图示：

假设点E是AB上的动点，试根据以上图形提供的信息解决以下问题．
（1）三棱锥C-DED₁的体积是否与点E的位置有关？说明理由；
（2）当异面直线AD₁与EC所成角为60°时，请确定动点E的位置；
（3）在（2）的条件下，求证平面DED₁⊥平面D₁EC．

Answer

（1）三棱锥C-DED1的体积与点E的位置无关，因为，所以不论点E在AB上的任何位置都有，所以三棱锥的体积为定值．
（2）作AE'∥CE交CD于E'，可得AE'=D1E'，进而得到AD1E'为正三角形，所以AE=DE'=1，这时点E为AB的中点．
（3）由（2）知，E为AB的中点，所以∠AED=∠BEC=45°所以CE⊥DE，由题意可得CE⊥DD1，DE∩DD1=D，所以CE⊥平面D1ED．进而得到面面垂直．
【解析】
由该几何体的三视图知，ABCD为矩形，D1D⊥平面ABCD，AD=DD1=1，AB=2．
（1）三棱锥C-DED1的体积与点E的位置无关，
这是∵
∵不论点E在AB上的任何位置都有
∴不论点E在AB上的任何位置都有
（2）作AE'∥CE交CD于E'，
∵AD=DD1=1，∴AE'=D1E'，
又异面直线AD1与EC所成角为60，∴△AD1E'为正三角形，
从而AE=DE'=1，这时点E为AB的中点．
（3）由（2）知，E为AB的中点，∴△DAE与△EBC都是等腰直角三角形
∴∠AED=∠BEC=45°∴CE⊥DE，
又∵D1D⊥平面ABCD，EC⊂平面ABCD
∴CE⊥DD1，DE∩DD1=D
∴CE⊥平面D1ED
∵EC⊂平面D1EC
∴平面DED1⊥平面D1EC．