Question

已知椭圆C的离心率e=，长轴的左右端点分别为A₁（-2，0），A₂（2，0）．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设直线x=my+1与椭圆C交于P，Q两点，直线A₁P与A₂Q交于点S，试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

Answer

（I）设椭圆C的方程为，由，知，b2=1，由此能求出椭圆C的方程．
（II）取m=0，得P（1，），Q（1，-），直线A1P的方程是，直线A1P的方程是，直线A2Q的方程为是交点为．若，由对称性可知，若点S在同一条直线上，由直线只能为l：x=4．
【解析】
（I）设椭圆C的方程为，
∵，∴，b2=1，
∴椭圆C的方程为．
（II）取m=0，得P（1，），Q（1，-），
直线A1P的方程是，
直线A1P的方程是，直线A2Q的方程为是交点为．
若，由对称性可知，
若点S在同一条直线上，由直线只能为l：x=4．
以下证明对于任意的m，直线A1P与A2Q的交点S均在直线l：x=4上，
事实上，由，
得（my+1）2+4y2=4，即（m2+4）y2+2my-3=0，
记P（x1，y1），Q（x2，y2），
则，
记A1P与l交于点S（4，y），
由，得，
设A2Q与l交于点S‘（4，y′），
由，得，
∵
=
=
=，
∴y=y′，即S与S‘重合，
这说明，当m变化时，点S恒在定直线l：x=4上．