Question

已知函数．
（I）求f（x）在[0，1]上的最大值；
（II）若对任意的实数，不等式|a-lnx|+ln[f'（x）+3x]＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（III）若关于x的方程f（x）=-2x+b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．

Answer

（I）求出导函数，令导函数为0求出两个根，判断出根两边的导数的符号，求出函数的极值即最值．
（II）分离出参数a，构造两个新函数，通过求导数，判断出函数的单调性，求出函数的最值，求出a的范围．
（III）分离出参数b，构造函数，通过求导数求出函数的极值，求出参数b的范围．
【解析】
（I），令f'（x）=0，得或x=-1（舍）
当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，∴是函数在[0，1]上的最大值
（2）|a-lnx|＞对恒成立
若即恒成立
由|a-lnx|+ln[f'（x）+3x]＞0得或
设；
依题意得a＞h（x）或a＜g（x）在恒成立
∵，
∴g（x），h（x）都在上递增
∴

（3）由f（x）=-2x+b知，
令，则
当时，ϕ'（x）＞0，于是ϕ（x）在上递增；当时，ϕ'（x）＜0，于是ϕ（x）在上递减，而，∴f（x）=-2x+b即ϕ（x）=0在[0，1]上恰有两个不同实根等价于，解得