Question

在数列{a_n}中，已知a₁=-1，a_n+1=S_n+3n-1（n∈N^*）
①求数列{a_n}的通项公式
②若b_n=3ⁿ+（-1）^n-1•λ•（a_n+3）（λ为非零常数），问是否存在整数λ使得对任意n∈N^*都有b_n+1＞b_n？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer

①由已知，得an=Sn-1+3n-4（n≥2），利用an与sn的关系，两式相减，an+1+3=2（an+3）（n≥2），初步判断新数列{an+3}具有等比数列的性质，再考虑n=1的情形．
②写出数列{bn}的通项，首先假设存在λ使得满足题意，然后计算化简bn+1-bn，再结合恒成立问题进行转化，将问题转化为：对任意的n∈N*恒成立．然后分n为奇偶数讨论即可获得λ的范围，再结合为整数即可获得问题的解答．
【解析】
（1）由an+1=Sn+3n-1（n∈N*）①
得an=Sn-1+3n-4（n≥2）②
①-②得an+1=2an+3（n≥2）
∴an+1+3=2（an+3）（n≥2）
又由②得 a2=S1+6-4=a1+2=1
∴a2+3=4
∴a2+3=2（a1+3）
∴an+1+3=2（an+3）（n≥1）
∴数列{an+3}是首项为2，公比为2的等比数列
∴an+3=2×2n-1=2n
∴数列{an}的 an=2n-3（n≥1）
（2）由（1）可得  bn=3n+（-1）n-1•λ•2n
bn+1=3n+1+（-1）n•λ•2n+1
要使bn+1＞bn恒成立，只需bn+1-bn=2•3n-3λ•（-1）n-1•2n＞0恒成立，
即恒成立
当n为奇数时，恒成立   而的最小值为1∴λ＜1（10分）
当n为偶数时，恒成立  而最大值为∴（12分）
即λ的取值范围是1＞，且λ≠1
又λ为整数．
∴存在λ=-1或0，使得对任意n∈N*都有bn+1＞bn．