Question

已知p：“|a|=2”，q：“直线y=ax+1-a与抛物线y=x²相切”，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

Answer

当a=-2时，直线y=-2x+3，不满足与抛物线y=x2相切，故由|a|=2，不能推出直线与抛物线相切，故充分性不成立；当直线y=ax+1-a与抛物线y=x2相切时，把直线方程代入抛物线方程化简，由判别式△=0 可得|a|=2，故必要性成立．
【解析】
当a=2时，直线y=2x-1，满足和抛物线y=x2相切，当a=-2时，直线y=-2x+3，不满足与抛物线y=x2相切．
故由|a|=2，不能推出直线y=ax+1-a与抛物线y=x2相切，故充分性不成立．
当直线y=ax+1-a与抛物线y=x2相切时，把直线方程代入抛物线方程化简可得x2-ax+a-2=0，
由题意可得，判别式△=a2-4（a-1）=0，∴a=2，∴|a|=2，
故必要性成立，故p是q的 必要不充分条件，
故选 B．