Question

设，其中a∈R．
（1）若f（x）有极值，求a的取值范围；
（2）若当x≥0，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer

（1）先求出函数的导数，由题意知，导数等于0有两个不同的实数根，△=4（1+a）2-16a=4（1-a）2＞0，由此求得a的取值范围；
（2）先将问题转化为求函数在x≥0时的最小值问题，再结合（1）中的单调性可确定f（x）在x=2a或x=0处取得最小值，求出最小值，即可得到a的范围．
【解析】
（1）由题意可知：f'（x）=x2-2（1+a）x+4a，且f（x）有极值，
则f'（x）=0有两个不同的实数根，故△=4（1+a）2-16a=4（1-a）2＞0，
解得：a≠1，即a∈（-∞，1）∪（1，+∞）（4分）
（2）由于x≥0，f（x）＞0恒成立，则f（0）=24a＞0，即a＞0（6分）
由于f'（x）=x2-2（1+a）x+4a=（x-2）（x-2a），则
1当0＜a＜12时，f（x）3在x=2a4处取得极大值、在x=25处取得极小值，
则当x≥0时，，解得：；（8分）
6当a=17时，f'（x）≥08，即f（x）9在[0，+∞）10上单调递增，且f（0）=24＞011，
则f（x）≥f（0）＞0恒成立；（10分）
12当a＞113时，f（x）14在x=215处取得极大值、在x=2a16处取得极小值，
则当x≥0时，，解得：-3＜a＜6
综上所述，a的取值范围是：（12分）