Question

已知数列{a_n}（n∈N^*）是首项为a₁，公比为q的等比数列．
（1）求和：①a₁C₂-a₂C₂¹+a₃C₂²；②a₁C₃-a₂C₃¹+a₃C₃²-a₄C₃³；③a₁C₄-a₂C₄¹+a₃C₄²-a₄C₄³+a₅C₄⁴；
（2）根据（1）求得的结果，试归纳出关于正整数n的一个结论（不需证明）；
（3）设S_n是等比数列{a_n}的前n项和，求：S₁C_n¹-S₂C_n²+S₃C_n³-S₄C_n⁴+…+（-1）^n-1S_nC_nⁿ．

Answer

（1）利用等比数列的通项公式，将an都用首项和公式 q表示，再利用二项式定理进行化简即可；
（2）观察（1）的特点，发现它们的结果都可能写成a1（1-q）n的形式，故得出：a1Cn-a2Cn1+a3Cn2++（-1）n+1an+1Cnn=a1（1-q）n（n∈N*）．
（3）对等比数列的公比q分类讨论：①当q=1时，Sn=na1，②当q≠1时，再分别进行化简证明即得．
【解析】
（1）∵{an}成等比数列，
∴an=a1qn-1，
∴①a1C2-a2C21+a3C22=a1C2-a1C21q+a1C22q2=a1（1-q）2；（2分）
②a1C3-a2C31+a3C32-a4C33=a1C3-a1C31q+a1C32q2-a1C33q3=a1（1-q）3；（3分）
③a1C4-a2C41+a3C42-a4C43+a5C44=a1C4-a1C41q+a1C42q2-a1C43q3+a1C44q4=a1（1-q）4．（4分）
（2）由（1）可归纳得a1Cn-a2Cn1+a3Cn2++（-1）n+1an+1Cnn=a1（1-q）n（n∈N*）．（6分）
（3）①当q=1时，Sn=na1，
则，（8分）
∴S1Cn1-S2Cn2+S3Cn3-S4Cn4++（-1）n-1SnCnn
=na1（Cn-1-Cn-11+Cn-12++（-1）n-1Cn-1n-1）=na1（1-1）n-1=0；（11分）
②当q≠1时，，
则，（13分）
∴S1Cn1-S2Cn2+S3Cn3-S4Cn4++（-1）n-1SnCnn
=
=
=．