Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁，D，E，F分别是B₁A，CC₁，BC的中点．
（1）求证：B₁F⊥平面AEF；
（2）求二面角B₁-AE-F的正切值．

Answer

（1）由已知中三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，D，E，F分别是B1A，CC1，BC的中点，结合等腰三角形性质及直三棱柱的几何特征，我们易判断出AF⊥B1F，B1F⊥EF，进而根据线面垂直的判定定理即可得到B1F⊥平面AEF；
（2）B1M⊥AE于M，连接FM，由三垂线定理我们易得∠B1MF即为二面角B1-AE-F的平面角，解三角形B1MF，即可求出二面角B1-AE-F的正切值．
证明：（1）等腰直角三角形△ABC中F为斜边的中点，
∴AF⊥BC
又∵直三棱柱ABC-A1B1C1，
∴面ABC⊥面BB1C1C，
∴AF⊥面C1B，
∴AF⊥B1F
设AB=AA1=1，
∴，
∴B1F2+EF2=B1E2，
∴B1F⊥EF
又AF∩EF=F，
∴B1F⊥面AEF
【解析】
（2）∵B1F⊥面AEF，
作B1M⊥AE于M，连接FM，
∴∠B1MF为所求
又∵，
所求二面的正切值为