Question

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长为，侧棱长为4．
（1）求证：平面AB₁C⊥平面BDD₁B₁；
（2）求D₁到面AB₁C的距离；
（3）求三棱锥D₁-ACB₁的体积V．

Answer

（1）由BD⊥AC，BB1⊥AC，BD∩BB1=B⇒AC⊥平面BDD1B1⇒平面AB1C⊥平面BDD1B1；
（2）设AC、BD交与点O，连接B1O．点D1作D1H⊥B1O，则D1H即为所求D1到面AB1C的距离；
（3）利用（2）找到的高，再求出底面面积，代入体积计算公式即可．
（1）证明：∵BD⊥AC，BB1⊥AC，BD∩BB1=B，∴AC⊥平面BDD1B1，
又因为AC⊂平面B1EF，所以平面AB1C⊥平面BDD1B1；
（2）【解析】
连接AC、BD交与点O，连接B1O．
过点D1作D1H⊥B1O，则D1H即为所求．
在△B1D1O中，由正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，
底面边长为，侧棱长为4．
可得D1O=B1O===2，B1D1=4
∴cos∠D1B1O==，
∴==⇒B1H=⇒．
即D1到面AB1C的距离为．
（3）【解析】
．
所以三棱锥D1-ACB1的体积为．