Question

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱AB和BC的中点，EF与BD交于点G．
（1）求二面角B₁-EF-B的正切值；
（2）M为棱BB₁上的一点，当的值为多少时能使D₁M⊥平面EFB₁？试给出证明．

Answer

（1）根据正方体的性质，根据正方体的底面的两条对角线垂直和三角形的中位线平行于底边，得到线与线垂直，得到线面垂直，得到∠B1GB是二面角B1-EF-B的平面角，求出角的正切值．
（2）当两条线的比值等于1时满足条件，下面证明这个结论成立，要证明一条直线垂直于一个平面，需要从平面上找两条相交直线与已知直线垂直，在平面上找到B1E，EF与已知直线垂直．
【解析】
（1）在底面ABCD中，∵AC⊥BD，EF∥AC，∴BG⊥EF，连接B1G．
又∵BB1⊥ABCD，∴B1G⊥EF．
则∠B1GB是二面角B1-EF-B的平面角，，
．
（2）当时满足题意．
证明：D1A1⊥面AB1，知D1M在面AB1的射影是A1M，
∵△A1MB≌△B1EB，∴A1M⊥B1E，即D1M⊥B1E．
因为DD1⊥平面ABCD，所以BD为D1M在平面ABCD内射影，
连接AC，因为E、F为中点，所以AC∥EF，
又因为BD⊥EF，所以D1M⊥EF．又因为B1E∩EF=E．
∴D1M⊥平面EFB1