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已知点P(2,0)及圆C:x2+y2-6x+4y+4=0. (Ⅰ)若直线l过点P...

已知点P(2,0)及圆C:x2+y2-6x+4y+4=0.
(Ⅰ)若直线l过点P且与圆心C的距离为1,求直线l的方程;
(Ⅱ)设过P直线l1与圆C交于M、N两点,当|MN|=4时,求以MN为直径的圆的方程;
(Ⅲ)设直线ax-y+1=0与圆C交于A,B两点,是否存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)分两种情况:当直线l的斜率存在时,设出直线l的斜率为k,由P的坐标和设出的k写出直线l的方程,利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d,让d等于1列出关于k的方程,求出方程的解即可得到k的值,利用求出的k和P写出直线l的方程即可;当直线l的斜率不存在时,得到在线l的方程,经过验证符合题意; (Ⅱ)由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离,再根据弦长|MN|的一半及半径,利用勾股定理求出弦心距d,发现|CP|与d相等,所以得到P为MN的中点,所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标,半径为|MN|的一半,根据圆心和半径写出圆的方程即可; (Ⅲ)把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程,因为直线与圆有两个交点,所以得到△>0,列出关于a的不等式,求出不等式的解集即可得到a的取值范围,利用反证法证明:假设符合条件的a存在,由直线l2垂直平分弦AB得到圆心必在直线l2上,根据P与C的坐标即可求出l2的斜率,然后根据两直线垂直时斜率的乘积为-1,即可求出直线ax-y+1=0的斜率,进而求出a的值,经过判断求出a的值不在求出的范围中,所以假设错误,故这样的a不存在. 【解析】 (Ⅰ)设直线l的斜率为k(k存在)则方程为y-0=k(x-2). 又圆C的圆心为(3,-2),半径r=3, 由,解得. 所以直线方程为,即3x+4y-6=0; 当l的斜率不存在时,l的方程为x=2,经验证x=2也满足条件; (Ⅱ)由于,而弦心距, 所以d=,所以P为MN的中点, 所以所求圆的圆心坐标为(2,0),半径为|MN|=2, 故以MN为直径的圆Q的方程为(x-2)2+y2=4; (Ⅲ)把直线ax-y+1=0即y=ax+1.代入圆C的方程,消去y,整理得(a2+1)x2+6(a-1)x+9=0. 由于直线ax-y+1=0交圆C于A,B两点, 故△=36(a-1)2-36(a2+1)>0,即-2a>0,解得a<0. 则实数a的取值范围是(-∞,0). 设符合条件的实数a存在, 由于l2垂直平分弦AB,故圆心C(3,-2)必在l2上. 所以l2的斜率kPC=-2, 而, 所以. 由于, 故不存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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